Уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Как решать уравнения с модулем

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Из уравнения находим Однако при этом значении переменной неравенство не выполняется,. значит Понятие тождественного преобразования выражения. частей уравнения на общий множитель, содержащий неизвестную, может . При x выражение под знаком модуля отрицательно и, следователь-.

У меня от неё мозг разрывается! И цель этого урока — превратить хрень в знания.: Немного теории Итак, поехали.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Начнём с самого важного: Вот так всё просто? А чему тогда равен модуль положительного числа? Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным или в крайнем случае нулём.

Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа. Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. Можно записать это в виде формулы: Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Решение уравнений с модулем

Но это ещё не всё: Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки: Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен.

Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.: Основная формула Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль? Начнём с самых простых вещей.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Рассмотрим что-нибудь типа такого: Кэп как бы намекает, что. Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? Теперь немного усложним задачу. Про него сразу можно сказать: А вот с первым уравнением всё веселее.

В первом случае наше уравнение перепишется так: Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения: Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит: Так может, существует какой-то универсальный алгоритм? Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём. Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Всё решение заняло буквально две строчки. Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее: Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного.

Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам. Случай переменной правой части А теперь рассмотрим вот такое уравнение: Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна или равна нулюто можно действовать точно так же, как раньше: В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: Поэтому решим-ка само уравнение: Поэтому в ответ пойдут два числа: Вот и всё решение.: Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать?

Уравнения, содержащие знак модуля

Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение: Пока лучше займёмся полученными уравнениями. А получится вот что: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ?

Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства: Да просто подставим найденные корни и проверим: И в ответ пойдут лишь два корня: Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. Уравнения с двумя модулями До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа: Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор.

Уравнения с модулем. Подробная теория с примерами.

А вот и нет: Однако решению уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, уделяется достаточно мало внимания. Актуальность рассмотрения данной темы обусловлена противоречием между тем, что задания, содержащие модуль регулярно встречаются в материалах ЕГЭ и тем, что их решение, вызывают у учащихся значительные трудности. Анализ учебников по алгебре для х классов и пособий по алгебре и началам анализа для х классов показал, что в каждом учебнике задания, содержащие модуль, используются для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы.

Во всех рассмотренных учебниках понятие и свойства модуля используются при вычислении значений выражений, решении простейших уравнений и неравенств.

Ни одно из проанализированных пособий не содержит системного изложения теоретического материала и такого набора заданий, который позволил бы обобщить и систематизировать знания о методах решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, что требуется для подготовки к ЕГЭ. Рассмотрим примеры заданий с различными ошибками, недочетами, неточностями.

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Модуль может раскрываться со знаком плюс или минус, поэтому уравнение распадается на два: А значит, его нужно отбросить. План решения уравнений с модулем методом интервалов. Найти ОДЗ область допустимых значений уравнения. Найти нули выражений, стоящих под знаком модуля. Разбить область допустимых значений уравнения на интервалы. Найти решение уравнения на каждом интервале и проверить, входит ли полученное решение в рассматриваемый интервал.

Записать корни уравнения, учитывая все полученные значения переменной. Таким образом, верное решение уравнения можно оформить в следующем виде: Ошибка допущена при рассмотрении пункта б.

уравнения содержащие выражения под знаком модуля

Но можно предложить более красивый способ решения. Вспомним о геометрическом смысле модуля. Для решения нашего уравнения нужно найти такие точки на числовой прямой, для которых сумма расстояний до точек 1 и 2 равняется 1.